Szegény örmény család sarja. Fiatalon kapcsolatba került a népzenével. Elbűvölték a hallott népi dallamok, jóllehet nem volt még zeneértő. Örményország 1920-ban a Szovjetunió része lett. A művész ekkor egy örményországi propaganda-vonatúthoz csatlakozott, melyen grúz–örmény művészek vettek részt.

A következő évben Moszkvába utazott bátyjához, aki a Második Moszkvai Művészeti Színház színpadi rendezője volt. Bár nem volt zenei előképzettsége, Hacsaturján tehetséges volt, így felvették a Gnyeszin Intézetbe. Itt csellózni tanult Szergej Bicskov, majd Andrej Boriszjak keze alatt. Maga Mihail Gnyeszin 1925-ben kezdett zeneszerzést oktatni a főiskolán. Hacsaturjánt 1929-ben a moszkvai konzervatóriumba vették át, ahol Nyikolaj Mjaszkovszkij (zeneszerzés) és Szergej Vaszilenko (hangszerelés) oktatta. Itt végzett 1934-ben.

Elvette Nyina Makarova zeneszerzőnőt, volt iskolatársát Mjaszkovszkij csoportjából. 1951-ben a Gnyeszin Állami Zenei és Pedagógiai Intézet (Moszkva) és a Moszkvai Konzervatórium professzora lett. A Zeneszerzők Egyesületében a moszkvai részleg elnökhelyettese lett, 1937-ben. A Szovjet Zeneszerzők Szervezeti Bizottságának alelnökévé nevezték ki 1939-ben. Boldogság című balettjét 1939-ben szerezte, majd a későbbi Gajane című balettben ismét felhasználta.

1948-ban átmenetileg kiesett a hivatali kedvezményezettek köréből. Szimfonikus költeménye, későbbi elnevezéssel a Harmadik Szimfónia, felkeltette a pártharagot vele szemben. Ironikus módon Hacsaturján a művet épp a kommunizmus iránti tiszteletből írta: „Olyan kompozíciót akartam alkotni, melyet a közönség egyfajta íratlan programként fog értékelni. Azt akartam, hogy a szovjet emberek öröme, büszkesége fejeződjön benne, gyönyörű országuk láttán.” Talán épp, mert nem csatolt programot zenéjéhez, a dolog visszafelé sült el.

Zsdanovnak, a Kommunista Párt Központi Bizottsága titkárának nevéhez köthető az 1948-as ún. Zsdanov-rendelet, amely elítélte Sosztakovicsot, Prokofjevet, Hacsaturjánt más szovjet zeneszerzőkkel egyetemben, mint formalista és a néptől elfordult művészeket. A megnevezett művészek ez időre már a „szovjet zene titánjai”-ként voltak számon tartva a 20. századi világ vezető zeneszerzői között. Mindezek ellenére a megvádoltaknak nyilvánosan kellett megkövetniük hazai közönségüket, a szovjet népet.

E szégyenletes epizód ellenére Hacsaturján mégis visszatért a kegyeltek körébe. Számos állami kitüntetést kapott mind a rendelet előtt, mind a rendelet után. Így négy Sztálin-díjat (1941, 1943, 1946 és 1950), egy Lenin-díjat (1959), egy Szovjetunió Állami Díját (1971), és a Szocialista Munka Hőse Kitüntetést (1973). 1957-től ismét betöltötte a Zeneszerzők Egyesületének elnökségi-titkári posztját.

Nem sokkal a 75. születésnapja előtt hunyt el. Jerevánban, Örményországban temették el több kiemelt örmény művész mellett, akik bemutatták az örmény művészetet a világ számára. Az 1998-as örmény 50 dramos papírpénzen az ő képe van.

Legnagyobb szabású munkái a Spartacus és a Gajane balett. Ezek egyben a legismertebb művek is. A Gajane utolsó felvonásának híres Kardtánc dallama különösen kedvelt.